Propriedades Aritméticas

O que é aritmética?

A aritmética é um dos conceitos mais antigos da matemática, que inclui o estudo dos números (-1, 0, 1, 2, 3,6, etc.), assim como operações entre eles (adição, subtração, divisão e multiplicação).

Essas operações são as mais presentes em nossas vidas, desde calcular o troco de uma compra na padaria até dividir o tempo para realizar tarefas domésticas, por exemplo.

A aritmética será tratada nesse curso primeiro por possuir muitas questões do ENEM com esse tópico e por ser a base que estudamos na educação infantil e até domiciliar.

Além das operações, a aritmética possui conceitos como múltiplos, divisores, porcentagem, potências e frações. Mas não precisa se prender nisso agora, pois iremos tópico por tópico.

Propriedades importantes

Na aritmética e em toda a matemática, há algumas propriedades que serão importantes agora para entender.

Obs.: Se por acaso não entender as letras que estão escritas, não precisa se preocupar, pois elas somente serão colocadas para representar de forma formal as propriedades. Você pode aprender sobre as letras nas equações com o passar do módulo de aritmética ou, se não conseguir, pode estudar com mais calma no módulo de álgebra, farei questão de aprofundar o máximo possível conforme precisar.

Propriedades Comutativa

Essa propriedade diz que a ordem dos elementos não afeta o resultado

• Adição

a + b = b + a

Exemplo: 2 + 5 = 5 + 2 → pois as duas adições dão 7.

• Multiplicação

a * b = b * a

*: Multiplicação

Exemplo: 3 * 5 = 5 * 3 → pois as duas multiplicações dão 15

Observação: isso não vale em subtrações e nem divisões (e não inventa em fazer em frações porque toda fração é uma divisão)

Propriedade Associativa

A forma com o que mudamos o agrupamento dos números não muda o resultado (difícil de entender, mas calma aí)

• Adição

(a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) → pois os dois dão 9

• Multiplicação

(a * b) * c = a * (b * c)

Exemplo: (2 * 5) * 3 = 2 * (5 * 3) → pois as duas equações dão 30

• Atenção

1. Isso não vale para subtrações nem divisões;

2. Quando há adição e multiplicação na equação, essas propriedades não valem.

Propriedade Distributiva

Multiplicar uma soma entre parênteses é o mesmo que multiplicar cada parcela e depois somar (ou subtrair). (Vish, prof., agora eu não entendi foi nada rsrs. Calma meu pequeno gafanhoto, vou tentar explicar da melhor forma possível com exemplos, porque só jogar essas palavras fica complicado, nem eu entendi direito rsrs)

Vou dar duas explicações, uma direta ao ponto e outro com base no cotidiano

• Fórmula

a * (b + c) = b * a + c * a

a * (b - c) = b * a - c * a

Exemplos:

1. 5 * (2 + 3) = 5 * 2 + 5 * 3 = 10 + 15 = 25

2. 5 * (3 - 2) = 5 * 3 - 5 * 2 = 15 - 10 = 5

3. 5 * (2 - 3) = 5 * 2 - 5 * 3 = 10 - 15 = -5

Espero que já tenha aprendido que quando eu escrever * é multiplicação, né? Caso não saiba até agora, aquele X que vemos na multiplicação pode ser trocado por *.

• Explicação

Como sempre, eu gosto de pão de queijo, quem não gosta, né rsrs?

Imaginemos que eu pedi 3 pães de queijo, mas depois eu vi que não tinha o tanto que queria e pedi mais 2. Mas, ainda achei que não era o suficiente, então peguei duas vezes mais o que já tinha

(Espero que tenha entendido, e caso ainda não entendeu por parecer uma questão, então já começa a praticar mais, oras, isso cai bastante em provas escolares, então estude direitinho, com o tempo pega, só não pode desanimar rsrs)

Elementos Neutro

É o elemento que não altera o valor.

• Adição e Subtração

a + 0 = a

a - 0 = a

Exemplos

1. 5 + 0 = 5

2. 5 - 0 = 5

• Multiplicação e Divisão

a * 1 = a

a : 1 = a

Exemplos

1. 5 * 1 = 5

2. 5 : 1 = 5

Se por acaso não tiver entendido o símbolo : (dois pontos), ele significa divisão, ao menos que alguém tenha entendido antes de ver esse textinho rsrs.

Vai, meu aluno(a), esse aqui é facinho demais. Até antes da escola você já sabia disso rsrs.

Elementos Inverso

Uma operação que, quando feita, gera um elemento neutro (a frase é complicada, mas é fácil também, confia em mim. Mas como eu tenho certeza que meus alunos e minhas alunas são inteligentes, como se eu tivesse muitos rsrs, eu sei que fazem isso de olhos vendados rsrs)

• Inverso aditivo

a + (-a) = a - a = 0

Exemplo: 5 + (-5) = 5 - 5 = 0

(Ficou meio estranho, eu sei. “Como que uma soma se tornou uma subtração?”, você deve estar se perguntando, pois vou dizer, aguarde que depois vou abordar isso rsrs, brincadeira, mas seja paciente, hein?)

• Inverso Multiplicativo

a * (1 : a) = a : a = 1

Exemplo: 5 * (1 : 5) = 5 : 5 = 1

(’E o mundo vai à loucura’, se antes não tinha entendido quase nada, agora não deve ter entendido nada mesmo rsrs, tudo bem não entender agora, eu também não entenderia nada se eu visse no começo dos meus estudos, mas depois vou até apresentar vídeos do Youtube para complementar melhor)

Importante

Por ser um tópico base de toda a ideia matemática que abordamos na escola, termine esse módulo primeiro. Que muitas questões que cairão em álgebra e geometria (que acompanharão vocês durante todo o curso), vão precisar de muitas fórmulas e conceitos que vou abordar aqui.